parabolün+karesinin+alınması

Arşimet'in integral hesabını öngördüğü çalışması: Parabolün Karelenmesi Öklid'in "İki dairenin alanları oranı, çaplarının oranının karesi kadardır" (XII- Önerme 2) önermesini tüketme yöntemiyle ispatlamasıyla, Yunan geometriciler sonsuz büyük ve sonsuz küçük kavramlarıyla yüz yüze gelmiş olsalar da, bu kavramları kullanmaktan kaçınmışlardır. Antiphon, bir dairenin içine, bir düzgün çokgen, bir kare çizilir, daha sonra karenin kenarları birer ikizkenar üçgenin tabanları olacak biçimde bir sekizgen ve sekizgenin kenarları birer ikizkenar üçgenin tabanları olacak biçimde bir onaltıgen çizilir ve benzer biçimde dairenin tüm alanı tüketilinceye kadar devam edilirse; çizilen çokgenlerin kenar uzunluklarının gittikçe küçüleceğini ve sonunda dairenin çevresi ile çakışacağını ifade etmiştir.

Öklid'in "İki dairenin alanları oranı, çaplarının oranının karesi kadardır" (XII- Önerme 2) önermesini tüketme yöntemiyle ispatlamasıyla, Yunan geometriciler sonsuz büyük ve sonsuz küçük kavramlarıyla yüz yüze gelmiş olsalar da, bu kavramları kullanmaktan kaçınmışlardır. Antiphon, bir dairenin içine, bir düzgün çokgen, bir kare çizilir, daha sonra karenin kenarları birer ikizkenar üçgenin tabanları olacak biçimde bir sekizgen ve sekizgenin kenarları birer ikizkenar üçgenin tabanları olacak biçimde bir onaltıgen çizilir ve benzer biçimde dairenin tüm alanı tüketilinceye kadar devam edilirse; çizilen çokgenlerin kenar uzunluklarının gittikçe küçüleceğini ve sonunda dairenin çevresi ile çakışacağını ifade etmiştir. Ancak Eudemus ve Simplicius'un da benzer ifadelerinin aksine, çokgenler asla dairenin çevresiyle çakışmaz. Antiphon'un bu kabulü hiçbir zaman onay görmeyecek; belki de sonsuzluk kavramının neden olduğu diyalektik tartışmaların sonucu olarak, Yunan geometriciler sonsuz büyük ve sonsuz küçük kavramlarından sakınacaklardır. Sonuçta Yunanlılar hiçbir zaman çemberin sonsuz tane sonsuz küçük kenarı olan bir çokgen olduğunu söylememiş, her zaman sonsuzluk uçurumuna varmadan durmuş ve kesin kavramların sınırları dışına asla çıkmamışlardır. Yunan matematiğinde sonsuz yakın veya sonsuz terimli bir serinin toplamının limit değeri gibi kavramlardan asla söz edilmez. Yukardaki daire örneğinde olduğu gibi, önermenin doğruluğunu, çemberin içine çizilen, kenar sayısı giderek artan ve kenar uzunluğu giderek azalan çokgenler serisinin limiti olacağı düşüncesiyle çıkarım yapmışlar ve bu kavramlara çok yaklaşmışlardır. Ancak böyle bir çıkarım onları hiçbir zaman tatmin etmez; onlar reddedilemez bir ispat için uğraşırlar ve bu ispat, durumun doğal yapısı gereği dolaylı bir ispat olacaktır. Sonuçta biz bugün, tüketme yönteminin kullanıldığı bir ispatta, önermenin söylediğinden farklı herhangi bir varsayımın olanaksızlığını gösteririz. Üstelik bu zorlu ispat yöntemi, bir şeyin mantıksızlığının ispatı (Ç.N: olmayana ergi yöntemi), tüketme yönteminin kullanıldığı her bir örnekte tekrar edilir.

Arşimet'in parabolü karelemesi üzerine Tüketme yönteminin yukarıda bahsedilen temel özellikleri Arşimet'in çalışmalarında da vardır. Bunu görmek için Arşimet'in bir parabol kesitinin aynı tabanlı ve eşit yüksekliğe sahip üçgenin 4/3 olduğuna ilişkin, geometrik ispatına bakmak uygundur. Arşimet parabolü sürekli daha küçük parabol parçalarına ayırır ve her bir parabol parçasının içine aynı tabana ve eşit yüksekliğe sahip bir üçgen çizer. A ilk parabol parçasının içine çizilen üçgenin alanı ise yapılan işlemler bize A, Â¼ A, (Â¼)2 A, (Â¼ )3A, ... alanlar serisini verecektir ve parabol parçasının alanı A{1+1/4+(1/4)2+...} toplamı olacaktır. Ancak Arşimet bu ifadeyi kullanmamış, ilk önce; A1, A2, A3, ... An yukarıdaki alanlar serisinin terimleri iken A1=4A2, A2=4A3, ..., olduğunu göstermiş daha sonra A1+A2+A3+...+An+1/3 A n= 4/3 A1 olduğunu veya A{1+1/4+(1/4)2+...(1/4)n-1+1/3(1/4)n-1}=4/3 A olduğunu ispatlamıştır. Biz bugün n'i sınırsız büyüttüğümüzde (1/4)n-1'in yeterince küçük olacağı ve sol taraftaki toplamın limitinin parabol parçasının alanı olacağı sonucunu çıkarabiliyoruz. Arşimet sonucu bu biçimde elde ettiğinden bahsetmez; daha çok parabol parçasının 4/3 A olduğunu ifade eder ve bunu alanın 4/3A'dan daha büyük ya da daha küçük olamayacağını göstererek ispatlar. Arşimet'in Dositheus'a yazdığı ve parabolün karelenmesiyle ilgili çalışmasının yer aldığı mektubun bir bölümü aşağıdadır:

[]